催乳师培训资格证是由国家相关部门颁发的，用于证明催乳师具备一定的专业技能和知识，催乳师培训资格证的发放主要由以下几个部门负责：

1、人力资源和社会保障部：人力资源和社会保障部是国务院直属的部门，主要负责全国人力资源和社会保障工作，催乳师培训资格证的发放由该部门的职业技能鉴定中心负责，职业技能鉴定中心会根据国家职业技能标准和行业要求，对参加催乳师培训的人员进行考核，合格者颁发催乳师培训资格证。

2、卫生健康委员会：卫生健康委员会是国务院直属的部门，主要负责全国卫生健康工作，催乳师培训资格证的发放也由该部门的相关机构负责，卫生健康委员会会对催乳师培训课程进行监督和指导，确保培训质量，卫生健康委员会还会对催乳师培训资格证的发放进行监管，确保证书的合法性和权威性。

3、地方人力资源和社会保障局：地方人力资源和社会保障局是地方政府直属的部门，主要负责本地区的人力资源和社会保障工作，催乳师培训资格证的发放也由地方人力资源和社会保障局负责，地方人力资源和社会保障局会根据国家和地方的相关政策，组织催乳师培训和考核工作，并颁发催乳师培训资格证。

4、专业培训机构：除了国家和地方政府相关部门外，一些专业的培训机构也会开展催乳师培训，并颁发催乳师培训资格证，这些培训机构通常会与国家和地方政府相关部门合作，确保培训内容和考核标准符合国家和行业要求，参加这些培训机构的催乳师培训，学员也可以获得催乳师培训资格证。

需要注意的是，催乳师培训资格证的发放并不是一次性的，而是需要定期参加培训和考核，更新证书，根据国家和行业的相关规定，催乳师每两年需要参加一次培训和考核，以保持催乳师培训资格证的有效性。

催乳师培训资格证的发放是为了确保催乳师具备一定的专业技能和知识，能够为产妇提供安全、有效的催乳服务，通过参加催乳师培训和考核，催乳师可以学习到催乳的基本理论、技能和操作方法，了解产妇的生理特点和催乳过程中可能出现的问题，掌握催乳的常见方法和技巧，提高催乳的效果和安全性。

催乳师培训资格证的发放由国家和地方政府相关部门以及专业培训机构负责，通过参加催乳师培训和考核，催乳师可以获得催乳师培训资格证，证明自己具备一定的专业技能和知识，为产妇提供安全、有效的催乳服务。